Question

已知a∈R，命題p：實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)；命題q：存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足|z|=2且|z+a|=1．
（1）若命題p中根的虛部為整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若命題p、q同為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）由實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)知△=a²-8＜0，再令

± 8-a2

2

為非零整數(shù)求a；
（2）求命題p、q為真，再判斷都為真時(shí)的要求即可．

解答： 解：（1）由已知可得△=a²-8＜0，
∴-2

2

＜a＜2

2

，
于是方程的根為

-a± 8-a2 i

2

，
由方程的虛部為整數(shù)時(shí)，

± 8-a2

2

為非零整數(shù)，
∴a=±2．
（2）若命題p為真命題，由（1）得，-2

2

＜a＜2

2

，
若命題q為真命題，
則復(fù)平面上的圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有交點(diǎn)，
于是1≤|a|≤3，
故兩個(gè)命題同時(shí)為真，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2

2

，-1]∪[1，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次方程的根的存在性及復(fù)數(shù)的定義，同時(shí)考查了復(fù)數(shù)的幾何意義及命題的真假性的判斷，屬于中檔題．