Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
在平面內(nèi)，不等式確定的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823222940561341.png" style="vertical-align:middle;" />，不等式組確定的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823222940607338.png" style="vertical-align:middle;" />.
（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”. 在區(qū)域任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域每次任取個(gè)點(diǎn)，連續(xù)取次，得到個(gè)點(diǎn)，記這個(gè)點(diǎn)在區(qū)域的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ））.

（1）畫(huà)出平面區(qū)域和平面區(qū)域.可分別找到區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，由概率公式計(jì)算出恰有
2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域的概率；（2）本題屬于幾何概型，先求出平面區(qū)域的面積和區(qū)域與區(qū)域相交部
分的面積，由幾何概型的概率公式得在區(qū)域任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域的概率的值，又隨機(jī)變量的可能取值為：.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算出的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域的整點(diǎn)為：共有13個(gè)，上述整點(diǎn)在平面區(qū)域的為：共有3個(gè)，
∴.    ……………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域的面積為，
平面區(qū)域與平面區(qū)域相交部分的面積為.
（設(shè)扇形區(qū)域中心角為，則得，也可用向量的夾角公式求）.
在區(qū)域任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域的概率為，隨機(jī)變量的可能取值為：.
，         ，
，  ，
∴的分布列為

	0	1	2	3

∴的數(shù)學(xué)期望：.  ………………………（12分）
（或者：～，故）.