Question

      (本題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)

(1) 求曲線(xiàn)在點(diǎn)A（0，)處的切線(xiàn)方程；

(2) 討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3) 是否存在實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解 （1）∵ a＞0，，

∴

=，                …………… 2分

于是，，所以曲線(xiàn)y = f（x）在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為，即（a－2）x－ay + 1 = 0．                              … 4分

（2）∵ a＞0，e^ax＞0，∴ 只需討論的符號(hào)．            ………… 5分

ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，＞0，這時(shí)f ′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．

ⅱ）當(dāng)a = 2時(shí)，f ′（x）= 2x²e^2x≥0，函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．

……………… 6分

ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令f ′（x）= 0，解得，．

當(dāng)x變化時(shí)， f '（x）和f（x）的變化情況如下表：

x
f '（x）	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴ f（x）在，為增函數(shù)，f（x）在為減函數(shù)．                                                           …… 9分

（3）當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，∈（0，1）．由（2）知f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立．當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，，設(shè)，則，表明g(t) 在（0，1）上單調(diào)遞減，于是可得，即a∈（1，2）時(shí)恒成立，因此，符合條件的實(shí)數(shù)a不存在．                                            … 14分