已知函數(shù)f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)設(shè)函數(shù),其中a>0.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個交點,求a的取值范圍.
【答案】分析:(1)由已知中函數(shù)f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).由偶函數(shù)的定義,構(gòu)造一個關(guān)于k的方程,解方程即可求出k的值;
(2)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個交點,即方程log2(4x+1)-x=在(,+∞)有且只有一解,即方程上只有一解,利用換元法,將方程轉(zhuǎn)化為整式方程后,分類討論后,即可得到a的取值范圍.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù)
∴f(-x)=log2(4-x+1)-kx=f(x)=log2(4x+1)+kx恒成立
即log2(4x+1)-2x-kx=log2(4x+1)+kx恒成立
解得k=-1
(2)∵a>0
∴函數(shù)的定義域為(,+∞)
即滿足
函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個交點,
∴方程log2(4x+1)-x=在(,+∞)有且只有一解
即:方程上只有一解
令2x=t,則,因而等價于關(guān)于t的方程(*)在上只有一解
當(dāng)a=1時,解得,不合題意;
當(dāng)0<a<1時,記,其圖象的對稱軸
∴函數(shù)在(0,+∞)上遞減,而h(0)=-1
∴方程(*)在無解
當(dāng)a>1時,記,其圖象的對稱軸
所以,只需,即,此恒成立
∴此時a的范圍為a>1
綜上所述,所求a的取值范圍為a>1.
點評:本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合運用,偶函數(shù),其中根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k值,進而得到函數(shù)f(x)的解析式,是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案