Question

【題目】如圖拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)（在軸上方），，點(diǎn)到軸的距離為4.

（1）求拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）是否存在軸上的一個點(diǎn)，過點(diǎn)有兩條直線，滿足，交拋物線于兩點(diǎn).與拋物線相切于點(diǎn)（不為坐標(biāo)原點(diǎn)），有成立，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），； （2）存在點(diǎn).

【解析】

（1）由拋物線的定義，可得，且，求得，即可得到拋物線的方程，進(jìn)而得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，由，解得，

得到，再由的方程為，聯(lián)立方程組，求得，，結(jié)合，即可得到結(jié)論.

（1）由拋物線的焦點(diǎn)為，滿足，點(diǎn)到軸的距離為4，由拋物線的定義，可得，且，解得，

所以拋物線的方程為，

令，解得，

又由在軸上方，所以，即.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，可知直線的斜率存在，

設(shè)的方程為，

聯(lián)立方程組，整理得，

由，解得，

此時切點(diǎn)，可得，

因為，所以的方程為，

聯(lián)立，整理得，

所以，

由可得，，解得，

所以存在點(diǎn)，符合題意.