Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函數(shù)f（x）的極值點．
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．
（3）證明：+…+（n∈N，n＞1）．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（1，+∞），f′（x）=-k．
當k≤0時，∵x-1＞0，∴f′（x）＞0，則f（x） 在（1，+∞）上是增函數(shù)．
f（x）在（1，+∞）上無極值點．
當 k＞0時，令f′（x）=0，則 x=1+． 所以當x∈（1，1+ ）時，f′（x）=-k＞-k=0，
∴f（x）在∈（1，1+ ）上是增函數(shù)，
當x∈（1+，+∞） 時，f′（x）=-k＜-k=0，∴f（x）在∈（1+，+∞） 上是減函數(shù)．
∴x=1+ 時，f（x）取得極大值．
綜上可知，當 k≤0時，f（x）無極值點； 當k＞0時，f（x）有唯一極值點 x=1+．
（2）由1）可知，當k≤0時，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0 不成立．
故只需考慮k＞0．
由1）知，f（x）_max=f（1+ ）=-lnk，
若f（x）≤0 恒成立，只需 f（x）_max=f（1+ ）=-lnk≤0 即可，
化簡得：k≥1．所以，k 的取值范圍是[1，+∞）．
3）由2）知，當k=1時，lnx＜x-1，x＞1．
∴l(xiāng)nn³＜n³-1=（n-1）（n²+n+1）＜（n-1）（n+1）²．
∴＜，n∈N，n＞1．
∴+…+＜ （3+4+5+…+n+1）=×（n-1）
=，n∈N，n＞1．
分析：（1）f′（x）=-k，當k≤0時，由 x-1＞0，得 f′（x）＞0，則f（x） 在（1，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上無極值點．當 k＞0時，有倒數(shù)的符號可得f（x）在∈（1，1+ ）上是增函數(shù)，f（x）在∈（1+，+∞） 上是減函數(shù)，故 x=1+ 時，f（x）取得極大值．
（2）由 1）可知只需考慮k＞0，f（x）_max=f（1+ ）=-lnk≤0即可，化簡得：k≥1．
（3）由2）知，當k=1時，lnx＜x-1，x＞1，可得lnn³＜n³-1=（n-1）（n²+n+1）＜（n-1）（n+1）²，故＜，故 +…+＜ （3+4+5+…+n+1）=×（n-1），從而得出結(jié)果．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)的恒成立問題，不等式的證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，不等式的放縮，是解題的難點．