Question

已知f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．

(1) 當b＝2時，求f(x)的值域；

(2) 若b為正實數(shù)，f(x)的最大值為M，最小值為m，且滿足M－m≥4，求b的取值范圍．

Answer 1

解：(1) 當b＝2時，f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．

因為f(x)在[1，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增，

所以f(x)的最小值為f()＝2－3.

又f(1)＝f(2)＝0，

所以f(x)的值域為[2－3，0]．

(2) ① 當0＜b＜2時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，

則m＝b－2，M＝－1，此時M－m＝－＋1≥4，得b≤－6，與0＜b＜2矛盾，舍去；

② 當2≤b＜4時，f(x)在[1，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f()＝2－3，則M－m＝b－2＋1≥4，得(－1)²≥4，解得b≥9，與2≤b＜4矛盾，舍去；

③ 當b≥4時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，則M＝b－2，m＝－1，此時M－m＝－1≥4，得b≥10.綜上所述，b的取值范圍是[10，＋∞)．