Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F₁PF₂＝60°.

(1)求橢圓離心率的范圍；

(2)求證：△F₁PF₂的面積只與橢圓的短軸長有關．

Answer 1

 (1)解　法一　設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，

|PF₁|＝m，|PF₂|＝n，則m＋n＝2a.

在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，

4c²＝m²＋n²－2mncos 60°＝(m＋n)²－3mn

＝4a²－3mn≥4a²－3·＝4a²－3a²＝a²(當且僅當m＝n時取等號)．∴≥，即e≥.

又0＜e＜1，∴e的取值范圍是.

法二　如圖所示，設O是橢圓的中心，A是橢圓短軸上的一個頂點，由于∠F₁PF₂＝60°，則只需滿足60°≤∠F₁AF₂即可，

又△F₁AF₂是等腰三角形，且|AF₁|＝|AF₂|，所以0°＜∠F₁F₂A≤60°，

所以≤cos∠F₁F₂A＜1，

又e＝cos∠F₁F₂A，所以e的取值范圍是.

(2)證明　由(1)知mn＝b²，

∴S△PF₁F₂＝mnsin 60°＝b²，

即△PF₁F₂的面積只與短軸長有關．