Question

11．據(jù)調(diào)查分析，若干年內(nèi)某產(chǎn)品關(guān)稅與市場供應(yīng)量P的關(guān)系近似地滿足：y=P（x）=2${\;}^{（1-kt）（x-b）^{2}}$，（其中，t為關(guān)稅的稅率，且t∈[0，$\frac{1}{2}$），x為市場價格，b，k為正常數(shù)），當t=$\frac{1}{8}$時的市場供應(yīng)量曲線如圖．
（Ⅰ）根據(jù)圖象求b，k的值；
（Ⅱ）若市場需求量為Q（x）=2${\;}^{11-\frac{t}{2}}$，當p=Q時的市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格保持在10元時，求稅率t的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象知函數(shù)圖象過（5，1），（7，2），得到$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{k}{8}）（5-b）^{2}=0}\\{（1-\frac{k}{8}）（7-b）^{2}=1}\end{array}\right.$，解得即可．
（2）能根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，并能在定義域內(nèi)求函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）由圖象知函數(shù)圖象過（5，1），（7，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{k}{8}）（5-b）^{2}=0}\\{（1-\frac{k}{8}）（7-b）^{2}=1}\end{array}\right.$，解得k=6，b=5；
（2）當P=Q時，${2}^{（1-6t）（x-5）^{2}}$=2${\;}^{11-\frac{x}{2}}$，即（1-6t）（x-5）²=11-$\frac{x}{2}$，
即2-12t=$\frac{22-x}{（x-5）^{2}}$，
令m=$\frac{1}{x-5}$（0＜m≤$\frac{1}{5}$），則2（1-6t）=17m²-m=17（m-$\frac{1}{34}$）²-$\frac{1}{68}$，
∴m=$\frac{1}{5}$時，2（1-6t）_max=$\frac{12}{25}$
∴1-6t≤$\frac{6}{25}$，
即t≥$\frac{19}{150}$，
∴稅率t=$\frac{19}{150}$時，平衡價格為10元．

點評 此題是個指數(shù)函數(shù)的綜合題，但在求解的過程中也用到了構(gòu)造函數(shù)的思想及二次函數(shù)在定義域內(nèi)求最值的知識，屬于中檔題