【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
:
(
),
,
,
,
是橢圓上的四個動點,且
,
,線段
與
交于橢圓
內(nèi)一點
.當(dāng)點
的坐標(biāo)為
,且
,
分別為橢圓
的上頂點和右頂點重合時,四邊形
的面積為4.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)證明:當(dāng)點,
,
,
在橢圓上運動時,
(
)是定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
是定值
【解析】
【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件建立方程組,然后解方程組求出
,
;(2)先設(shè)四點坐標(biāo)分別為
,
,
,
,然后將點
,
的坐標(biāo)代入橢圓方程得:
,
.再兩式相減得:
,求得
,進(jìn)而得到
,①
將點,
的坐標(biāo)代入橢圓方程,同理可得:
,最后設(shè)
(
),得
,即
,即
,
,②。再設(shè)
,同理可得:
,
,③。由①②③得:
,
整理得:
,進(jìn)而得到
,從而求出
。
解:(Ⅰ)由題可知:,解得
,
,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
.
(Ⅱ)設(shè),
,
,
,
將點,
的坐標(biāo)代入橢圓方程得:
,
.
兩式相減得:,
∵,∴
,①
將點,
的坐標(biāo)代入橢圓方程,同理可得:
,
設(shè)(
),得
,
即,即
,
,②
設(shè),同理可得:
,
,③
由①②③得:
,
整理得:
,
即,
∵,
,∴
,
所以是定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】立德中學(xué)和樹人中學(xué)各派一名學(xué)生組成一個聯(lián)隊參加一項智力競賽,這個智力競賽一共兩輪,在每一輪中,兩名同學(xué)各回答一次題目,已知,立德中學(xué)派出的學(xué)生每輪中答對問題的概率都是,樹人中學(xué)派出的學(xué)生每輪中答對問題的概率都是
;每輪中,兩位同學(xué)答對與否互不影響,各論結(jié)果亦互不影響,求:
(Ⅰ)兩輪比賽后,立德中學(xué)的學(xué)生恰比樹人中學(xué)的學(xué)生答對題目的個數(shù)多個的概率;
(Ⅱ)兩輪比賽后,記為這兩名同學(xué)一共答對的題目數(shù),求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形
所在的平面,
為
的中點,
,四邊形
為矩形,線段
交
于點
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點
,使得
與平面
所成角的大小為
?若存在,求出
的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為單位正方體,黑白兩只螞蟻從點
出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”,白螞蟻爬行的路線是
,黑螞蟻爬行的路線是
,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第
段與第
段所在直線必須是異面直線(其中
是自然數(shù)),設(shè)黑、白螞蟻都走完2012段后各停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白兩只螞蟻的距離是______________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M: 及其上一點A(2,4)
(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;
(3)設(shè)點T(t,o)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的右焦點為
,點
分別是橢圓
的上、下頂點,點
是直線
上的一個動點(與
軸的交點除外),直線
交橢圓于另一個點
.
(1)當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的右焦點
時,求
的面積;
(2)①記直線的斜率分別為
,求證:
為定值;
②求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān),某校興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從該校選擇甲乙兩個同類班級進(jìn)行試驗,其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練,乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練,一段時間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試,統(tǒng)計數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表(單位:人)
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計 | |
甲班 | |||
乙班 | |||
總計 |
(1)能否據(jù)此判斷有把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)?
(2)經(jīng)過多次測試后,小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在分鐘,小剛正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在
分鐘,現(xiàn)小明、小剛同時獨立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題,求小剛比小明先正確解答完的概率;
(3)現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的名同學(xué)中任意抽取兩人,并對他們的答題情況進(jìn)行全程研究,記
兩人中被抽到的人數(shù)為
,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望
.
附表及公式:
|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知偶函數(shù),當(dāng)
時,
,當(dāng)
時,
.關(guān)于偶函數(shù)
的圖象
和直線
的
個命題如下:
①當(dāng)時,存在直線
與圖象
恰有
個公共點;
②若對于,直線
與圖象
的公共點不超過
個,則
;
③,
,使得直線
與圖象
交于
個點,且相鄰點之間的距離相等.
其中正確命題的序號是( ).
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
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