Question

在RT△ABC中，直角邊AC=3，BC=4，點(diǎn)D是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，DF⊥BC交BC于點(diǎn)F，設(shè)CE=x．
（Ⅰ）求四邊形FDEC的面積函數(shù)f（x）；
（Ⅱ）當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）最大？并求出f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)圖形得出

AE

AC

=

EF

BC

，求解得四邊形FDEC的面積函數(shù)f（x）=x（4-

4x

3

），0＜x＜3，
（2）利用基本不等式x（4-

4x

3

）=12×

x

3

×（1-

x

3

）≤12×

1

4

=3，0＜x＜3，求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)設(shè)CE=x．則AE=3-x，
∵

AE

AC

=

EF

BC

，
∴EF=4-

4x

3

，0＜x＜3，
∴四邊形FDEC的面積函數(shù)f（x）=x（4-

4x

3

），0＜x＜3，
（2）∵f（x）=x（4-

4x

3

）=12×

x

3

×（1-

x

3

）≤12×

1

4

=3，0＜x＜3，
∴當(dāng)

x

3

=1-

x

3

時(shí)，即x=

3

2

時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，f（x）最大=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，利用基本不等式求解最值問題，屬于中檔題．