Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝2處取得極值－14.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)≥kx在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) )f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2處取得極值－14，解方程即可；（2）f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，設(shè)g(x)＝x2＋－12，對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)最值.

(1)f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2處取得極值－14，

得即解得經(jīng)檢驗，a＝1，b＝－12符合題意，

∴a＝1，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋2，由f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，設(shè)g(x)＝x2＋－12，x∈，則g′(x)＝2x－＝，當(dāng)0<x<1時，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)1<x≤2時，g′(x)>0，g(x)在(1，2]上單調(diào)遞增．故g(x)在x＝1處取得極小值g(1)＝－9，也是最小值，故得k≤－9，即k的取值范圍為(－∞，－9]．