已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)如何由函數(shù)y=2sinx的圖象通過適當?shù)淖儞Q得到函數(shù)f(x)的圖象,寫出變換過程;
(3)若f(
α
4
)=
1
2
,求sin(
π
6
-α)的值.
考點:由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)直接由函數(shù)圖象求得A和四分之一周期,再由周期公式求得ω,由五點作圖的第三點求φ;
(2)由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案;
(3)由f(
α
4
)=
1
2
求出sin(
α
2
+
π
6
)=
1
4
,然后把sin(
π
6
-α)轉(zhuǎn)化為余弦利用倍角公式得答案.
解答: 解:(1)由函數(shù)圖象可知,A=2,
T
4
=
12
-
π
6
=
π
4
,T=π.
ω
,ω=2.
由五點作圖的第三點得
12
+
φ=π,得φ=
π
6

f(x)=2sin(2x+
π
6
)
;
(2)法1:先將y=2sinx的圖象向左平移
π
6
個單位,再將所得圖象縱坐標不變,橫坐標壓縮為原來的
1
2
倍,所得圖象即為f(x)=2sin(2x+
π
6
)
的圖象.
法2:先將y=2sinx的圖象縱坐標不變,橫坐標壓縮為原來的
1
2
倍,再將所得圖象向左平移
π
12
個單位,所得圖象即為f(x)=2sin(2x+
π
6
)
的圖象;
(3)由f(
α
4
)=2sin(2•
α
4
+
π
6
)=2sin(
α
2
+
π
6
)=
1
2
,
得:sin(
α
2
+
π
6
)=
1
4

sin(
π
6
-α)=cos(α+
π
3
)=1-2sin2(
α
2
+
π
6
)=1-
1
8
=
7
8
點評:本題考查了y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求函數(shù)解析式,考查了三角函數(shù)的圖象平移,訓練了三角函數(shù)的求值,是中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

當x
1
2
時,函數(shù)y=log22x+log2x2+2的值域是(  )
A、[0,+∞)B、[1,+∞)
C、(1,+∞)D、R

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某中學從已編號(1~60)的60個班級中,隨機抽取6個班級進行衛(wèi)生檢查,用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選的6個班級的編號可能是( 。
A、6,16,26,36,46,56
B、3,10,17,24,31,38
C、4,11,18,25,32,39
D、5,14,23,32,41,50

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

由下表給出函數(shù)y=f(x)y=f(x),若f(m)=3,則m的值為( 。
x-10123
y34321
A、-1B、1C、±1D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
lnx
x
+
lna
x+5
在x=1處取到極值.
(1)求a的值,并求出f(x)的極值;
(2)若x≥1時,不等式(x+1)f(x)≥5x+k+5恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(2-a)lnx-1,g(x)=lnx+ax2+x(a∈R),令φ(x)=f(x)+g′(x).
(Ⅰ)當a=0時,求φ(x)的極值;
(Ⅱ)當a≤-2時,求φ(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x3-3x2sinθ+
1
32
,其中x∈R,θ為參數(shù),且0≤θ<π.
(1)當θ=0時,判斷函數(shù)f(x)是否有極值,說明理由;
(2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零,求參數(shù)θ的取值范圍;
(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-1,a)內(nèi)都是增函數(shù),求a的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex
(Ⅰ)設函數(shù)g(x)=
a
f(x)
+x
,a∈R,求g(x)的極值.
(Ⅱ)證明:h(x)=f(x)-
1
2
x2-x-1
在R上為增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-alnx.
(1)若a=2e,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若f(x)在(0,e)上有兩個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))

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