Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

+

lna

x+5

在x=1處取到極值．
（1）求a的值，并求出f（x）的極值；
（2）若x≥1時，不等式（x+1）f（x）≥5x+k+5恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由f（x）在x=1處取極值，則f′（1）=0，求出a，f（1），驗證為極大值；
（2）x≥1時，f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值6．若x≥1時，不等式（x+1）f（x）≥5x+k+5恒成立，等價為若x≥1時，不等式f（x）≥

k

x+1

+5恒成立，只需在x=1處f（x）的最大值不大于

k

x+1

+5在x=1處的最小值即可（k＞0）..

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

lnx

x

+

lna

x+5

的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1-lnx

x2

-

lna

(x+5)2

，
由f（x）在x=1處取極值，則f′（1）=0，
即1-

lna

36

=0，lna=36，a=e³⁶，
且f（1）=0+

36

6

=6．
又令f′（x）=0，則由于x＞0，則

1-lnx

-

6

1+ 5 x

=0，
令h（x）=

1-lnx

-

6

1+ 5 x

，則h（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，且h（1）=0，
故只有一個極值，f′（x）在（0，1）上遞增，（1，e）上遞減，
故為極大值6．
（2）若x≥1時，不等式（x+1）f（x）≤5x+k+5恒成立，
等價為若x≥1時，不等式f（x）≤

k

x+1

+5恒成立，
由（1）得，f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值6．
則只需在x=1處f（x）的最大值不大于

k

x+1

+5在x=1處的最小值即可（k＞0）．．
故6≤5+

k

2

，即k≥2．
故實數(shù)k的取值范圍是[2，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間、求極值和求最值，同時考查不等式的恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．