Question

已知數列{a_n}的首項a₁=5，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*．
（1）證明：數列{a_n+1}是等比數列；
（2）求{a_n}的通項公式以及前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等比數列的定義，利用條件，即可證明數列{a_n+1}是等比數列；
（2）根據{a_n+1}是等比數列，即可求{a_n}的通項公式以及前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*．
即

an+1+1

an+1

=

2an+1+1

an+1

=2，n∈N^*都成立，
又a₁+1=6≠0，
∴數列{a_n+1}是首項為6，公比為2的等比數列．
（2）由（1）得a_n+1=6•2^n-1，
則a_n=6•2^n-1-1，
于是S_n=6(20+21+…+2n-1)-(1+1+…+1)=6•

1-2n

1-2

-n=6•2ⁿ-n-6．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式以及數列求和，考查學生的計算能力．