Question

△ABC是正三角形，線段EA和DC都垂直于平面ABC，設(shè)EA=AB=2a，DC=a，且F為BE的中點，如圖所示．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
（3）求平面BDE與平面ABC所成的較小二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（3）延長ED交AC延長線于G′，連BG′，只要證明BG^′⊥平面ABE即可得到∠ABE為所求的平面BDE與平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到．

解答：解：（1）證明：如圖所示，取AB中點G，連CG、FG．
∵EF=FB，AG=GB，
∴FG

∥

.

1

2

EA．
又DC

∥

.

1

2

EA，∴FG

∥

.

DC．
∴四邊形CDFG為平行四邊形，∴DF∥CG．
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）證明：∵EA⊥平面ABC，
∴AE⊥CG．
又△ABC是正三角形，G是AB的中點，
∴CG⊥AB．
∴CG⊥平面AEB．
又∵DE∥CG，
∴DF⊥平面AEB．
∴平面AEB⊥平面BDE．
∵AE=AB，EF=FB，
∴AF⊥BE．
∴AF⊥平面BED，
∴AF⊥BD．
（3）解：延長ED交AC延長線于G′，連BG′．
由CD=

1

2

AE，CD∥AE知，D為EG′的中點，
∴FD∥BG′．
又CG⊥平面ABE，F(xiàn)D∥CG．
∴BG′⊥平面ABE．
∴∠EBA為所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°．
∴平面BDE與平面ABC所成的較小二面角是45°．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理與線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的求法是解題的關(guān)鍵．