Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，的最小值為，且該橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且，若，試問直線是否經(jīng)過一個定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)

【解析】

（1）依題意得到方程組解得；

（2）已知且，可知點(diǎn)同在軸的上方或下方，

由對稱性可知，若動直線經(jīng)過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在軸上，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線上，

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，列出韋達(dá)定理，由直線的斜率，得直線的方程為，令，計(jì)算其橫坐標(biāo)是否為定值.

解：（1）依題意得，解得，所以橢圓；

（2）直線過定點(diǎn)，

證明：已知且，可知點(diǎn)同在軸的上方或下方，

由對稱性可知，若動直線經(jīng)過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在軸上，

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線上，

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

聯(lián)立，消去整理得又，

所以，

由直線的斜率，得直線的方程為，

令，得：，

由，

所以

即，

所以直線過定點(diǎn).