Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.

(I)求圓的直角坐標(biāo)方程；

(II)若是直線與圓面的公共點(diǎn),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解圓的普通方程；

（Ⅱ）解法一：設(shè)，將直線的參數(shù)方程代入，得，又由直線過，圓的半徑是，即求解的范圍，進(jìn)而得到的取值范圍；

解法二：求得直線與圓的交點(diǎn)為的坐標(biāo)，由點(diǎn)在線段上，得的最大值和最小值，即可得到的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵圓的極坐標(biāo)方程為

又，

∴圓的普通方程為

（Ⅱ）解法一：設(shè)，圓的方程即，

∴圓的圓心是，半徑

將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入，得

又∵直線過，圓的半徑是1，

，即的取值范圍是．

解法二：圓的方程即，

將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程：

∴直線與圓的交點(diǎn)為和，故點(diǎn)在線段上

從而當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)， ；

當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)， ．