Question

如圖，平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°，則當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？

Answer 1

解：設(shè)，，，由已知|a|=|b|，

=(a+b+c)(a-b)=|a|²-|b|²+ac-bc=|a||c|cos60°-|b||c|cos60°=0，

∴CA₁⊥BD.

因而A₁C⊥平面C₁BD的充要條件是CA₁⊥C₁D.

由=(a+b+c)(a-c)=0|a|²+ab-bc-|c|²=0|a|²+|a||b|cos60°-|b||c|cos60°-|c|²=0(3|a|+2|c|)(|c|-|a|)=0.

∵|a|＞0,|c|＞0,∴|a|=|c|.∴當時，A₁C⊥平面C₁BD.

啟示：這是條件開放性問題，從結(jié)論出發(fā)，利用向量垂直的條件由線線垂直推出線面垂直.本題通過利用向量的幾何運算法則及向量的數(shù)量積運算大大降低了探索難度.