Question

對于數(shù)列a_n，（1）已知a_n是一個公差不為零的等差數(shù)列，a₅=6．
①當(dāng)a₃=2時，若自然數(shù)n₁，n₂，…，n_t，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比數(shù)列，試用t表示n_t；
②若存在自然數(shù)n₁，n₂，…，n_t，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…構(gòu)成一個等比數(shù)列．求證：當(dāng)a₃是整數(shù)時，a₃必為12的正約數(shù)．
（2）若數(shù)列a_n滿足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于數(shù)列a_n中的其他任何一項，求a₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在等差數(shù)列{a_n}中，由a₅=6，a₃=2，求出公差d，然后求出通項a_n，進而求出a_nt，由a₃，a₅a_n1，a_n2，…，a_nt…是等比數(shù)列，且可求出公比q，再求出a_nt，兩次求出的a_nt相等，找出n與t的關(guān)系；
  ②由a₃，a₅a_n1，a_n2，…，a_nt…是等比數(shù)列，由等比中項可得a₃a_n1=a₅²，即．，又由已知已知{a_n}是等差數(shù)列，可求==，整理可得，由n為正整數(shù)可知a₃為12的正約數(shù)
（2）由a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，得a_n+1a_n+2a_n+1+2a_n+4=a_n-a_n+1，
即（a_n+1+2）（a_n+2）=（a_n+2）-（a_n+1+2）．a(chǎn)₂₀₀₉小于數(shù)列a_n中的其他任何一項，可知a_n不是常數(shù)列，構(gòu)造新的等差數(shù)列，并借助該數(shù)列的單調(diào)性與反證法求出a₁的范圍．
解答：解：（1）①因為a₃=2，a₅=6，所以，公差d=，
從而a_n=a₅+（n-5）d=2n-4（2分）
又a₃，a₅，a_n1，a_n2，a_nt，是等比數(shù)列，所以公比q=，所以
a_nt=a₅•3^t=2•3^t+1，t∈N^*．
又a_nt=2n_t-4，所以2n_t-4=2•3^t+1，所以
n_t=3^t+1+2，t∈N^*．（4分）
②因為n₁＞5時，a₃，a₅，a_n1成等比數(shù)列，所以a₃a_n1=a₅²，即．（6分）
所以當(dāng)n≥3時，
，
所以，
即，
所以．
，解得．
因為n₁是整數(shù)，且n₁＞5，所以是正整數(shù)，從而整數(shù)a₃必為12的正約數(shù)．（8分）
（2）由a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，得a_n+1a_n+2a_n+1+2a_n+4=a_n-a_n+1，
即（a_n+1+2）（a_n+2）=（a_n+2）-（a_n+1+2）．（*）（10分）
由（*）知：若存在a_k=-2，則a_k+1=-2；若存在a_k+1=-2，則a_k=-2，所以a_n是常數(shù)列，與“a₂₀₀₉小于數(shù)列a_n中的其他任何一項”矛盾，因此（a_n+1+2）（a_n+2）≠0．
由（*）式知，從而數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，即．（12分）
方法一由于數(shù)列是遞增數(shù)列，且a₂₀₀₉小于數(shù)列{a_n}中的其他任何一項，即a₂₀₀₉+2小于數(shù)列{a_n+2}中的其他任何一項，所以a₂₀₀₉+2＜0，
且a₂₀₁₀+2＞0，這是因為若a₂₀₀₉+2＞0，則由，
得a₂₀₀₉+2＞a₂₀₁₀+2＞0，即a₂₀₀₉＞a₂₀₁₀，與
“a₂₀₀₉小于數(shù)列a_n中的其他任何一項”矛盾：，與“a₂₀₀₉小于數(shù)列a_n中的其他任何一項”矛盾：因此，，
即，
即，
即-1
綜上，a₁的取值范圍是
方法二
當(dāng)n＜1-時，a_n+2單調(diào)遞增，且a_n+2＜0；
當(dāng)n＞1-時，2+a_n單調(diào)遞減，且a_n+2＞0．
由于a₂₀₀₉小于數(shù)列{a_n}中的其他任何一項，即a₂₀₀₉+2小于數(shù)列{a_n+2}中的其他任何一項，
所以a₂₀₀₉+2＜0，且a₂₀₁₀+2＞0，
，
即-2009＜，
即-；
解得-．
綜上，a₁的取值范圍是．（16分）
點評：本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，解答中要注意數(shù)列遞推公式與數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，屬于較難試題