Question

8．偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x，則函數(shù)g（x）=f（x）-lgx在x∈（0，10）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的周期，再利用函數(shù)與方程思想把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，畫(huà)出函數(shù)的圖象，即可求解．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2），
∴原函數(shù)的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）．
又當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-x，∴x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，函數(shù)的周期為2，
∴原函數(shù)的對(duì)稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
設(shè) y₁=f（x），y₂=lgx，x=10，y₂=1
函數(shù)g（x）=f（x）-lgx在（0，10）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)如圖：
即為函數(shù)y₁=f（x），y₂=lgx的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9個(gè)．
函數(shù)g（x）=f（x）-lgx有9個(gè)零點(diǎn)
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想．轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．