Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}-1}{n+1}$（n∈N₊）．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄，并猜測(cè)出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜測(cè)．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{n{a}_{n}+1}{n+1}$，分別令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄的值，根據(jù)前四項(xiàng)的值，總結(jié)規(guī)律能猜想出a_n的表達(dá)式．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證猜相成立；再假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，由此推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立，由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明猜想成立．

解答 解：（1）a₁=2，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}-1}{n+1}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=$\frac{{a}_{1}-1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=$\frac{2{a}_{2}-1}{2+1}$=0，
當(dāng)n=4時(shí)，a₄=$\frac{3{a}_{3}-1}{3+1}$=-$\frac{1}{4}$，
∴猜想a_n=$\frac{3-n}{n}$，（n∈N₊）．
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{3-1}{1}$=2，等式成立，
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即a_k=$\frac{3-k}{k}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{k{a}_{k}-1}{k+1}$=$\frac{3-k-1}{k+1}$=$\frac{3-（k+1）}{k+1}$，等式成立，
由①②可知，a_n=$\frac{3-n}{n}$，（n∈N₊）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前四項(xiàng)的求法和通項(xiàng)公式的猜想及證明，是中檔題，解題時(shí)要注意遞推思想和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．