Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的導函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）若（是自然對數(shù)的底數(shù)），求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當時，在上是增函數(shù)；②當時，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)。（2）證明見解析。

【解析】

（1）求出，得，然后求出導函數(shù)，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)g增區(qū)間，g求得的范圍，可得函數(shù)g的減區(qū)間；（2）因為，令，再次求導可證明在區(qū)間上有唯一零點，在區(qū)間上，是減函數(shù)，在區(qū)間上，是增函數(shù)，故當時，取得最小值，只需證明即可.

（1）因為，所以，

，

①當時，，在上是增函數(shù)；

②當時，由得，

所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；

（2）因為，令，則，

因為，所以，

即在是增函數(shù)，

下面證明在區(qū)間上有唯一零點，

因為，，

又因為，所以，，

由零點存在定理可知，在區(qū)間上有唯一零點，

在區(qū)間上，，是減函數(shù)，

在區(qū)間上，，是增函數(shù)，

故當時，取得最小值，

因為，所以，

所以 ，

因為，所以，

所以，.