Question

9．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的對稱中心及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期與對稱軸方程；
（2）利用正弦函數(shù)的對稱中心以及單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的對稱中心以及單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2x-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z）得，x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
∴其對稱中心為：（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0）（k∈Z）；
2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x∈[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查其周期性與對稱性及單調(diào)性與最值，屬于中檔題．