Question

在直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為

x=1+sin2θ y=2sinθ+2cosθ

（θ為參數(shù)）．若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

a（其中a為常數(shù)）
（1）當a=

9

10

時，曲線M與曲線C有兩個交點A，B．求|AB|的值；
（2）若曲線M與曲線C只有一個公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：把直線的極坐標方程化為直角坐標方程，曲線C的參數(shù)方程化為普通方程．
（1）直線與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．
（2）曲線M與曲線C只有一個交點．分類討論：相切與相交時，結(jié)合圖形即可得出．

解答： 解：∵C的方程是

x=1+sin2θ y=2sinθ+2cosθ

，消去參數(shù)θ，得y²=4x（0≤x≤2），
曲線M的方程ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

a，
即

2

2

ρsinθ-

2

2

ρcosθ=

2

2

a，化為直角坐標方程為：x-y+a=0，
（1）當a=

9

10

時，聯(lián)立

y2=4x y=x+ 9 10

化簡得：x2-

11

5

x+

81

100

=0，
∴

x1+x2=- 11 5 x1•x2= 81 100

，
即|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 5

5

．
（2）曲線M與曲線C只有一個交點．
①?相切時，將y=x+a代入y²=4x（0≤x≤2），
得x²+（2a-4）x+a²=0只有一個解，
∴△=（2a-4）²-4a²=0得a=1，
②?相交時，如圖：-2

2

-2≤a＜2

2

-2，
綜上：曲線M與曲線C只有一個交點時a=1或 -2

2

-2≤a＜2

2

-2．

點評：本題考查了把直線的極坐標方程化為直角坐標方程、曲線C的參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、直線與拋物線相切問題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．