已知向量
a
=(cos(x-
π
4
)，sin(x-
π
4
))，
b
=(cos(x+
π
4
)，-sin(x+
π
4
))，f(x)=
a
•
b
-k|
a
+
b
|，x∈[0，π]．
（1）若x=
7π
12
，求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若k=1，當(dāng)x為何值時，f（x）有最小值，最小值是多少？
（3）若f（x）的最大值為3，求k的值．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積，化簡表達(dá)式，代入x=
7π
12
，求
a
•
b
的值，直接求出|
a
+
b
|的表達(dá)式，代入x=
7π
12
求出值即可．
（2）若k=1，當(dāng)x為何值時，化簡函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用二次函數(shù)直接求出函數(shù)的最小值．
（3）借助（2）推出函數(shù)的表達(dá)式，通過換元法對函數(shù)的對稱軸是否在區(qū)間討論，通過f（x）的最大值為3，直接求出k的值．
解答：解：（1）由題意可知
a
•
b
=(cos(x-
π
4
)，sin(x-
π
4
))• (cos(x+
π
4
)，-sin(x+
π
4
))
=cos(x-
π
4
)•cos(x+
π
4
)- sin(x-
π
4
)•sin(x+
π
4
)
=cos2x，∵x=
7π
12
，∴
a
•
b
=cos2x=-
3
2
．
|
a
+
b
|=|(cos(x-
π
4
)+cos(x+
π
4
)，- sin(x-
π
4
)+sin(x+
π
4
))|
=
(cos(x-
π
4
)+cos(x+
π
4
)2+(-sin(x-
π
4
)+sin(x+
π
4
))2

=
2+2cos2x
=
2-
3
=
6
-
2
2
．
（2）k=1，f(x)=
a
•
b
-k|
a
+
b
|=
a
•
b
-|
a
+
b
|
=2cos2x-2|cosx|-1
當(dāng)x=
π
3
或x=
2π
3
時，函數(shù)f（x）有最小值f（x）min=-
3
2
；
（3）由（2）可知f（x）=2cos2x-2k|cosx|-1
設(shè)|cosx|=t，由x∈[0，π]
則：f（x）=g（t）=2t2-2kt-1，t∈[0，1]
當(dāng)：
k
2
≤
1
2
?k≤1時，f（x）max=g（1）=2-2k-1=3?k=-1
k≤1
k=-1
?k=-1，
當(dāng)：
k
2
＞
1
2
?k＞1時，f（x）max=g（0）=-1≠3，
綜上之：k=-1．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡，向量的數(shù)量積與向量的模的應(yīng)用，考查換元法以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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