Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=pa_n²+q（p，q∈R，n∈N⁺）則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①若a₂=q，則a₁=0；
②存在p，對(duì)于任意的q∈R，數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；
③當(dāng)p=1，q=0且a₁=10時(shí)，lga_n=2^n-1；
④若p=

1

4

，q=

3

4

且a₁為奇數(shù)，則數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)都是奇數(shù)；
⑤若p=

1

4

，q=

3

4

，a₁＞0且a_n+1＞a_n，則0＜a₁＜1或a₁＞3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：①若a₂=q，a₂=pa₁²+q=q．即pa₁²=0，則a₁=0或p=0，當(dāng)p=0時(shí)，結(jié)論不成立，故①錯(cuò)誤；
②若存在p，對(duì)于任意的q∈R，數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}是非零的常數(shù)列，
設(shè)a_n=c，（c≠0），
則方程等價(jià)為c=pc²+q，即pc²-c+q=0；
則q=c-pc²，若p的常數(shù)，則q=c-pc²，也是常數(shù)，則對(duì)于任意的q∈R，數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列不成立，故②錯(cuò)誤，
③當(dāng)p=1，q=0且a₁=10時(shí)，a_n+1=a_n²，則a₂=a₁²=10²，a₃=a₂²=（10²）²=10⁴，
a₄=a₃²=10⁸，a_n=a_n-1²=102n-1，則lga_n=2^n-1成立，故③正確，
④若p=

1

4

，q=

3

4

且a₁為奇數(shù)，則a_n+1=

1

4

a_n²+

3

4

=

1

4

（a_n²+3），若a_n為奇數(shù)，
設(shè)a₁=2n+1，a_n+1=

1

4

[（2n+1）²+3]=

1

4

（4n²+4n+1+3）=n²+n+1=n（n+1）+1是奇數(shù)，故數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)都是奇數(shù)正確，故④正確，
⑤若p=

1

4

，q=

3

4

，a₁＞0且a_n+1＞a_n，則a_n＞0，且a_n+1=

1

4

a_n²+

3

4

＞a_n，
即a_n²-4a_n+3＞0，∴0＜a_n＜1或a_n＞3，∴0＜a₁＜1或a₁＞3正確，故⑤正確．
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行推理是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．