Question

15．以下命題中：
①命題：“?x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“?x₀∈R，f（x₀）g（x₀）≠0”；
②點P是拋物線y²=2x上的動點，點M是P在y軸上的射影，點A的坐標是A（3，6），則|PA|+|PM|的最小值是6；
③命題“若P則q”與命題“若非p則非q”互為逆否命題；
④若過點C（1，1）的直線l交橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于不同的兩點A，B，且C是AB的中點，則直線l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命題的序號是①②④．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 對于①，寫出命題：“?x∈R，f（x）g（x）=0”的否定，即可判斷①的正誤；
對于②，依題意，作出圖形，利用拋物線的定義，可知|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-$\frac{1}{2}$=|PA|+|PF|-$\frac{1}{2}$≥|AF|-$\frac{1}{2}$，即可判斷②的正誤；
對于③，寫出命題“若P則q”的逆否命題，即可判斷③的正誤；
對于④，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，兩式相減，結(jié)合C（1，1）是AB的中點，可得：k_AB=-$\frac{3}{4}$，從而可求得直線AB的方程，又即可判斷④的正誤．

解答 解：對于①，命題：“?x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“?x₀∈R，f（x₀）g（x₀）≠0”，故①正確；
對于②，點P是拋物線y²=2x上的動點，點M是P在y軸上的射影，點A的坐標是A（3，6），設點P在拋物線的準線x=-$\frac{1}{2}$上的射影為N，作圖如下：

由拋物線的定義知，|PN|=|PF|，故|PM|=|PN|-$\frac{1}{2}$，
則|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-$\frac{1}{2}$=|PA|+|PF|-$\frac{1}{2}$≥|AF|-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{（3-\frac{1}{2}）}^{2}{+（6-0）}^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{2}$-$\frac{1}{2}$=6，
即|PA|+|PM|的最小值是6，故②正確；
對于③，命題“若p則q”與命題“若非q則非p”互為逆否命題，與命題“若非p則非q”互為否命題，故③錯誤；
對于④，若過點C（1，1）的直線l交橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
兩式相減，整理得：k_AB=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{y}_{1}{+y}_{2}}$，又C（1，1）是AB的中點，
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
所以k_AB=-$\frac{3}{4}$，
則直線l的方程是3x+4y-7=0，故④正確；
綜上所述，其中真命題的序號是①②④，
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，突出考查四種命題之間的關系及全稱命題與特稱命題的轉(zhuǎn)化，考查拋物線定義與“點差法”的綜合運用，特別是等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于難題．