15.以下命題中:
①命題:“?x∈R,f(x)g(x)=0”的否定是“?x0∈R,f(x0)g(x0)≠0”;
②點P是拋物線y2=2x上的動點,點M是P在y軸上的射影,點A的坐標是A(3,6),則|PA|+|PM|的最小值是6;
③命題“若P則q”與命題“若非p則非q”互為逆否命題;
④若過點C(1,1)的直線l交橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于不同的兩點A,B,且C是AB的中點,則直線l的方程是3x+4y-7=0.
其中真命題的序號是①②④.(寫出所有真命題的序號)

分析 對于①,寫出命題:“?x∈R,f(x)g(x)=0”的否定,即可判斷①的正誤;
對于②,依題意,作出圖形,利用拋物線的定義,可知|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-$\frac{1}{2}$=|PA|+|PF|-$\frac{1}{2}$≥|AF|-$\frac{1}{2}$,即可判斷②的正誤;
對于③,寫出命題“若P則q”的逆否命題,即可判斷③的正誤;
對于④,設A(x1,y1),B(x2,y2),則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1,兩式相減,結(jié)合C(1,1)是AB的中點,可得:kAB=-$\frac{3}{4}$,從而可求得直線AB的方程,又即可判斷④的正誤.

解答 解:對于①,命題:“?x∈R,f(x)g(x)=0”的否定是“?x0∈R,f(x0)g(x0)≠0”,故①正確;
對于②,點P是拋物線y2=2x上的動點,點M是P在y軸上的射影,點A的坐標是A(3,6),設點P在拋物線的準線x=-$\frac{1}{2}$上的射影為N,作圖如下:

由拋物線的定義知,|PN|=|PF|,故|PM|=|PN|-$\frac{1}{2}$,
則|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-$\frac{1}{2}$=|PA|+|PF|-$\frac{1}{2}$≥|AF|-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{(3-\frac{1}{2})}^{2}{+(6-0)}^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{2}$-$\frac{1}{2}$=6,
即|PA|+|PM|的最小值是6,故②正確;
對于③,命題“若p則q”與命題“若非q則非p”互為逆否命題,與命題“若非p則非q”互為否命題,故③錯誤;
對于④,若過點C(1,1)的直線l交橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1,
兩式相減,整理得:kAB=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{y}_{1}{+y}_{2}}$,又C(1,1)是AB的中點,
所以x1+x2=2,y1+y2=2,
所以kAB=-$\frac{3}{4}$,
則直線l的方程是3x+4y-7=0,故④正確;
綜上所述,其中真命題的序號是①②④,
故答案為:①②④.

點評 本題考查命題的真假判斷與應用,突出考查四種命題之間的關系及全稱命題與特稱命題的轉(zhuǎn)化,考查拋物線定義與“點差法”的綜合運用,特別是等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的應用,屬于難題.

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