10.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn)F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),且過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為Q,滿足:$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)在軌跡C上求一點(diǎn)M,使得M到直線y=x-3的距離最短,并求出最短距離.

分析 (Ⅰ)設(shè)P(x,y),則Q(x,-1),F(xiàn)(0,1),由$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$.根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)法一:設(shè)$M({{x_0},\frac{x_0^2}{4}})$,利用點(diǎn)到直線的距離公式$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{({{x_0}-2})}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:${x_0}=2時(shí),{d_{min}}=\sqrt{2}$,求得M(2,1);
法二:當(dāng)與直線y=x-3平行,且與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)與與直線y=x-3的距離最短將直線方程代入拋物線方程,則△=0,即可求得m和x值,即可取得M到直線y=x-3的距離最短;
當(dāng)與直線y=x-3平行,且與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)與與直線y=x-3的距離最短.設(shè)切點(diǎn)為$M({{x_0},\frac{x_0^2}{4}})$,求導(dǎo),求得切線斜率為$\frac{x_0}{2}=1$,即可求得,M點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得,M到直線y=x-3的距離最短.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y),則Q(x,-1),F(xiàn)(0,1),
∴$\overrightarrow{QP}=({0,y+1}),\overrightarrow{QF}=({-x,2})$,$\overrightarrow{FP}=({x,y-1}),\overrightarrow{FQ}=({x,-2})$,…(4分)
$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$.
∴2(y+1)=x2-2(y-1),化簡得:x2=4y,
所求軌跡為:x2=4y…(6分)
(Ⅱ)法一:設(shè)$M({{x_0},\frac{x_0^2}{4}})$,則M到直線y=x-3的距離為$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{({{x_0}-2})}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$,
∴${x_0}=2時(shí),{d_{min}}=\sqrt{2}$,
此時(shí)M(2,1)為所求.…(12分)
法二:當(dāng)與直線y=x-3平行,且與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)與與直線y=x-3的距離最短.
設(shè)該直線方程為y=x+m,…(7分)
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}=4y\end{array}\right.⇒{x^2}-4x-4m=0,△=16+16m=0$,
解得:m=-1,x=2,
∴M(2,1)到直線y=x-3的距離最短,最短距離為$\sqrt{2}$.…(12分)
法三:當(dāng)與直線y=x-3平行,且與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)與與直線y=x-3的距離最短.
設(shè)切點(diǎn)為$M({{x_0},\frac{x_0^2}{4}})$,
軌跡方程可化為:$y=\frac{x^2}{4},y'=\frac{x}{2}$,切線斜率為$\frac{x_0}{2}=1$,
∴x0=2,
則M到直線y=x-3的距離為$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{({{x_0}-2})}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$,
則M到直線y=x-3的距離的最小值為$\sqrt{2}$,此時(shí)M(2,1).

點(diǎn)評 本題考查拋物線的軌跡方程,直線與拋物線的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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20.已知集合A={x∈N|x2+2x-3≤0},B={C|C⊆A},則集合B中元素的個(gè)數(shù)為( 。
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(Ⅱ)若$x∈({0,\frac{π}{3}}]$且關(guān)于x的方程$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}=m$有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求m的值.

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15.以下命題中:
①命題:“?x∈R,f(x)g(x)=0”的否定是“?x0∈R,f(x0)g(x0)≠0”;
②點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M是P在y軸上的射影,點(diǎn)A的坐標(biāo)是A(3,6),則|PA|+|PM|的最小值是6;
③命題“若P則q”與命題“若非p則非q”互為逆否命題;
④若過點(diǎn)C(1,1)的直線l交橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于不同的兩點(diǎn)A,B,且C是AB的中點(diǎn),則直線l的方程是3x+4y-7=0.
其中真命題的序號是①②④.(寫出所有真命題的序號)

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2.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,邊長為2,∠BAD=60°,E為邊AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為G,則線段CG的長度最小值為( 。
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19.已知復(fù)數(shù)z=x+yi,滿足|z-3-4i|=1,則x2+y2的取值范圍是( 。
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20.已知函數(shù)f(x)的定義域是[4,+∞),則函數(shù)$f(\sqrt{x})$的定義域是[16,+∞).

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