Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切，過(guò)點(diǎn)P（-4，0）作斜率為的直線l，交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且滿足|PA|· |PB|=|PC|²。
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x²+（y-2）²=上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx，
因?yàn)闈u近線與圓（x-5）²+y²=5相切，
則，即
所以雙曲線的漸近線方程為
設(shè)雙曲線方程為x²-4y²=m，
將代入雙曲線方程，
整理，得3x²+56x+112+4m=0
所以，
因?yàn)閨PA|·|PB|=|PC|²，
點(diǎn)P，A，B，C共線，且點(diǎn)P在線段AB上，
則（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，
即（x_B+4）（-4-x_A）=16
所以4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0
于是，解得m=4
故雙曲線方程是x²-4y²=4，即。
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），圓的圓心為D，
則x²-4y²=4，點(diǎn)D（0，2）
所以|MD|²=x²+（y-2）²=4y²+4+（y-2）²
 
所以
從而
故|MN|的取值范圍是。