分析 由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{1}{2}lna=ta}\\{\frac{2}+\frac{1}{2}lnb=tb}\end{array}\right.$,即$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx=tx$在(0,+∞)上有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根,故函數(shù)y=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx$的圖象與函數(shù)y=tx的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求得t的范圍.
解答 解:函數(shù)$f(x)=\frac{x}{2}+ln\sqrt{x}$在(0,+∞)為增函數(shù),某區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇ta,tb],
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{1}{2}lna=ta}\\{\frac{2}+\frac{1}{2}lnb=tb}\end{array}\right.$,即$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx=tx$,變形為$\frac{1}{2}lnx=x(t-\frac{1}{2})$在(0,+∞)上有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根,
故函數(shù)y=$\frac{1}{2}lnx$的圖象與函數(shù)y=(t-$\frac{1}{2}$)x的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
∴t-$\frac{1}{2}$>0,解得:t$>\frac{1}{2}$
令F(x)=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx$-tx
則F′(x)=$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}-t$
令F′(x)=0,解得:x=$\frac{1}{2t-1}$
故當(dāng)x=$\frac{1}{2t-1}$是函數(shù)y=$\frac{1}{2}lnx$的圖象與函數(shù)y=(t-$\frac{1}{2}$)x的圖象切點(diǎn).
故得$(t-\frac{1}{2})\frac{1}{2t-1}=\frac{1}{2}ln(\frac{1}{2t-1})$,
解得:t=$\frac{1+e}{2e}$
故得t的取值范圍是$\frac{1}{2}<t<\frac{1+e}{2e}$.
故答案為:($\frac{1}{2}$,$\frac{1+e}{2e}$)
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域,構(gòu)造函數(shù)的思想,屬于中檔題.
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A. | 3-4i | B. | 3+4i | C. | 5-4i | D. | 5+4i |
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A. | $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$ | B. | $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ | C. | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ | D. | $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$ |
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A. | [$\frac{9}{5}$,3] | B. | (-∞,3] | C. | [3,+∞) | D. | (2,3] |
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