Question

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角余弦值大小
（Ⅲ）若M是AB的中點，在線段VC上是否在一點N，使MN∥平面VAD．若存在，求出M點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）作AD的中點O，建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為1，由量法能證明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）分別求出面VAD的法向量和面VDB的法向量，由此能求出面VAD與面VDB所成的二面角的大�。�
（Ⅲ）設VN=λVC，利用向量法能求出MN∥平面VAD，N為VC中點．

解答： （Ⅰ）證明：作AD的中點O，則VO⊥底面ABCD，
建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為1，
則A（

1

2

，0，0），B（

1

2

，1，0），C（-

1

2

，1，0），
D（-

1

2

，0，0），V（0，0，

3

2

），
∴

AB

=（0，1，0），

AD

=（1，0，0），

AV

=（-

1

2

，0，

3

2

），
由

AB

•

AD

=0，得

AB

⊥

AD

，
由

AB

•

AV

=0，得

AB

⊥

AV

，
又AB∩AV=A，∴AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

AB

=（0，1，0）是面VAD的法向量，
設

n

=（1，y，z）是面VDB的法向量，
則

n • VB =- 1 2 +y- 3 2 z=0 n • BD =-1-y=0

，解得

n

=（1，-1，

3

3

），
∴cos＜

AB

，

n

＞=-

21

7

，
又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳二面角，
∴其大小為arccos

21

7

．
（Ⅲ）解：設VN=λVC，則N（λ，2λ，

3(1-λ)

），M（1，1，0），
設

MN

=x

AD1

+y

AN

，

AD

=（-1，0，0），

AN

=（-

1

2

，0，

3

2

），

-x- 1 2 y=-λ-1 0=2λ-1 3 3 y= 3 (λ-1)

，
∴λ=

1

2

，x=

1

2

，y=-

1

4

，
∴

MN

=

1

2

AD

-

1

4

AM

，
又MN不包含于平面VAD，∴MN∥平面VAD，
此時λ=

1

2

，∴N為VC中點．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查直線與平面平行的點的位置的判斷與求法，解題時要注意向量法的合理運用．