解:(1)∵sinα,cosα是關(guān)于x的二次方程4x
2+2mx+m=0的兩個根,
∴當(dāng)△=(2m)
2-16m≥0,即m≤0,或m≥4時,
有sinα+cosα=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/295735.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8830.png)
,sinαcosα=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8974.png)
,
又sin
2α+cos
2α=1,即(sinα+cosα)
2-2sinαcosα=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8829.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8830.png)
=1,
化簡得:(m-1)
2=5,
解得:m=1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
(舍去)或m=1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/37578.png)
;(4分)
(2)∵sinα+cosα=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8087.png)
,sinαcosα=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105894.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/231121.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/295736.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/295737.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/295738.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
.(5分)
分析:(1)由已知中sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程4x
2+2mx+m=0的兩個實根,我們根據(jù)方程存在實根的條件,我們可以求出滿足條件的m的值,然后根據(jù)韋達定理結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系,我們易求出滿足條件的m的值;
(2)先由第一問求出的m確定出sinα+cosα及sinαcosα的值,然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后,再利用平方差公式分解因式,分母利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,變形后與分子約分可得到關(guān)于sinα+cosα及sinαcosα的關(guān)系式,把sinα+cosα及sinαcosα的值代入即可求出值.
點評:本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,其中本題第一問易忽略方程存在實數(shù)根,而錯解為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/37579.png)
,第二問利用三角函數(shù)的恒等變形把所求式子化為關(guān)于sinα+cosα及sinαcosα的形式是解題的關(guān)鍵,同時注意“1”的靈活運用.