Question

過點(diǎn)P（0，2）的直線和拋物線y²=8x交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)在直線x=2上，求弦AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)弦AB的中點(diǎn)C（2，m），交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線BA的方程為y=

m-2

2

x+2．與拋物線方程聯(lián)立化為（m-2）y²-16y+32=0，m≠2．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得y1+y2=

16

m-2

=2m，化為m²-2m-8=0，解得m．再利用|AB|=

(1+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

即可得出．

解答： 解：設(shè)弦AB的中點(diǎn)C（2，m），交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線BA的方程為y=

m-2

2

x+2．
聯(lián)立

y= m-2 2 x+2 y2=8x

，化為（m-2）y²-16y+32=0，（*）
m≠2．
∴y1+y2=

16

m-2

=2m，化為m²-2m-8=0，
解得m=4或-2．
當(dāng)m=4時(shí)，中點(diǎn)C（2，4）在拋物線上，舍去．
∴m=-2．
（*）化為y²+4y-8=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-8．
∴|AB|=

(1+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2[(-4)2-4×(-8)]

=4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．