Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，
①求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，0）處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，且當(dāng)0≤x≤4m時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，，則f'（x）=x²-4x+3，（1分）
①令f'（x）=x²-4x+3=0，解得x=1或x=3（2分）
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：（-∞，1），（3，+∞）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是：（1，3）（4分）
②f'（0）=3，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=3x．（6分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）既有極大值，又有極小值，則有兩個(gè)不同的根，
則有△=4m²-6m＞0，又m＞0，∴（8分）
令
g'（x）=x²-4mx+3m²=0?x=m，或x=3m，（10分）
∴g'（x）＞0?x＜m或x＞3m，g'（x）＜0?m＜x＜3m
∴g（x）在[0，m），（3m，4m]上為增函數(shù)，在（m，3m）上為減函數(shù)，（12分）
∴，又，
∴g（x）最大值為，
∴（13分）m的取值范圍為．（14分）
分析：（1）①先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
②因?yàn)榍�線f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線的斜率為 f′（0），所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，0）處切線方程可以用點(diǎn)斜式求得．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）既有極大值，又有極小值，則有兩個(gè)不同的根，有△＞0，再令求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性及最值，從而求得m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．