Question

如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．設(shè)為線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若圓在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，試判斷直線與軌跡的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)，則．點(diǎn)在圓上，，

即點(diǎn)的軌跡的方程為．…………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：（i） 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或．顯然與軌跡相切；

（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即．………………7分

又直線的斜率等于，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以直線的方程為，即． …………………………9分

由得．

．故直線與軌跡相切．

綜上（i）（ii）知，直線與軌跡相切． ……………………………………………13分

解法二 ：設(shè)（），則．……………………………………5分

（i）當(dāng)時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)，直線與軌跡相切；

（ii）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．

令，則．，又點(diǎn)，

所以直線的方程為，即．………………9分

由得即．

．所以，直線與軌跡相切．

綜上（i）（ii）知，直線與軌跡相切．……………………………………………13分