Question

如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，∠BCD=120°．
（1）當(dāng)BC=CD時(shí)，求△BCD的面積；
（2）設(shè)∠CDB=θ，記四邊形ABCD的周長為f（θ），求f（θ）的方程，并求出它的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）在△ABD中，由余弦定理可得BD，在△BCD中由正弦定理可得BC，由面積公式可得；
（2）在△BCD中，由正弦定理可得

DC

sinθ

=

BC

sin(60°-θ)

=

BD

sin120°

=4，可得DC=4sinθ，BC=4sin（60°-θ），可得f（θ）=4sin（θ+60°）+6，由三角函數(shù)的最值可得．

解答： 解：（1）在△ABD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，
由余弦定理可得BD=

22+42-2×2×4× 1 2

=2

3

，
在△BCD中，∠BCD=120°，∴當(dāng)BC=CD時(shí)，∠BDC=30°，
∴由正弦定理可得BC=

BDsin30°

sin120°

=

2 3 × 1 2

3 2

=2，
∴△BCD的面積S=

1

2

×BC×CD×sin∠BCD=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

；
（2）在△BCD中，由正弦定理可得

DC

sinθ

=

BC

sin(60°-θ)

=

BD

sin120°

=4，
解得DC=4sinθ，BC=4sin（60°-θ），
∴f（θ）=AB+AD+BC+CD=6+4sinθ+4sin（60°-θ）
=4sinθ+2

3

cosθ-2sinθ+6=4sin（θ+60°）+6，
∵0°＜θ＜60°，∴當(dāng)且即當(dāng)θ=30°時(shí)，sin（θ+60°）有最大值1，
∴f（θ）的最大值為：10．

點(diǎn)評：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及正余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．