Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且與雙曲線

x2

2

-y²=1有相同的焦點(diǎn)，圓T：x²+y²=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P在x軸上方，M（1，0）為x軸上一點(diǎn)．直線PA交橢圓C于D點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DM，PB．
（1）若

AD

•

DM

=0，求△ADM的面積；
（2）若直線PB，DM的斜率存在且分別為k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,作圖題,直線與圓,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：先由題意求出橢圓的方程，作出圖象輔助，
（1）設(shè)點(diǎn)D（2cosa，sina），則

AD

=（2cosa+2，sina），

DM

=（1-2cosa，-sina），由

AD

•

DM

=0可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求△ADM的面積；
（2）由（1），寫出直線DM，AD的斜率，由AD⊥PB求出直線PB的斜率，即求出k₁=-

1

sina 2cosa+2

=-

2cosa+2

sina

，k₂=

sina

2cosa-1

，從而表達(dá)出λ=2-

1

1-cosa

，根據(jù)cosa的取值范圍求λ的取值范圍．

解答： 解：作圖如右圖，
在雙曲線

x2

2

-y²=1中，c²=2+1=3，
故b²=4-3=1，故橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，
（1）設(shè)點(diǎn)D（2cosa，sina），則

AD

=（2cosa+2，sina），

DM

=（1-2cosa，-sina），
由

AD

•

DM

=0可得（2cosa+2）（1-2cosa）-sin²a=0，
即（3cosa-1）（cosa+1）=0，
故由圖可知，點(diǎn)D（

2

3

，

2 2

3

）；
則S_△ADM=

1

2

×3×

2 2

3

=

2

；
（2）由（1）知，k₂=

sina

2cosa-1

，
直線AD的方程為

y-0

sina-0

=

x+2

2cosa+2

，
即y=

sina

2cosa+2

(x+2)，
又∵AD⊥PB，
∴k₁=-

1

sina 2cosa+2

=-

2cosa+2

sina

，
則由k₁=λk₂可得，
λ=

k1

k2

=-

2cosa+2

sina

•

2cosa-1

sina

=-

2(cosa+1)(2cosa-1)

(1+cosa)(1-cosa)

=2

1-2cosa

1-cosa

=4-2

1

1-cosa

，
∵

-1＜cosa＜1 2cosa-1≠0

，
∴-1＜cosa＜

1

2

或

1

2

＜cosa＜1，
∴

1

2

＜1-cosa＜2或0＜1-cosa＜

1

2

，
∴1＜2

1

1-cosa

＜4或

1

1-cosa

＞4，
∴0＜4-2

1

1-cosa

＜3或4-2

1

1-cosa

＜0．
即λ的取值范圍為（-∞，0）∪（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線中的位置問(wèn)題及應(yīng)用，同時(shí)考查了直線與圓，屬于難題．