Question

（15分）已知函數(shù)（不同時(shí)為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為.
（1）當(dāng)時(shí)，若存在使得成立，求的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；（3）或．

第一問(wèn)中，利用當(dāng)時(shí)，若存在使得成立，即說(shuō)明了
當(dāng)時(shí)，==，其對(duì)稱軸為直線，
當(dāng) ，解得，當(dāng)，無(wú)解，
所以的的取值范圍為、
第二問(wèn)中，法二：，，．
由于不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立．
第三問(wèn)中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823214647321447.png" style="vertical-align:middle;" />=為奇函數(shù)，所以, 所以，
又在處的切線垂直于直線，所以，即
結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到結(jié)論。
解：（1）當(dāng)時(shí)，==，其對(duì)稱軸為直線，
當(dāng) ，解得，當(dāng)，無(wú)解，
所以的的取值范圍為．………………………………………………4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232146484281014.png" style="vertical-align:middle;" />，
法一：當(dāng)時(shí)，適合題意………………………………………6分
當(dāng)時(shí)，，令，則，
令，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823214648631770.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)有零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，所以在（內(nèi)有零點(diǎn)．
因此，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．……………………10分
法二：，，．
由于不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立．
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823214647321447.png" style="vertical-align:middle;" />=為奇函數(shù)，所以, 所以，
又在處的切線垂直于直線，所以，即．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408232146497701041.png" style="vertical-align:middle;" />　所以在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，如圖所示，
當(dāng)時(shí)，，即，解得；
當(dāng)時(shí)， ，解得；
當(dāng)時(shí)，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，，即，解得；
當(dāng)時(shí)，，故．
所以所求的取值范圍是或．