Question

如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C₁：的焦點(diǎn)，且拋

物線C₁上點(diǎn)P處的切線與圓C₂：相切于點(diǎn)Q。

（Ⅰ）當(dāng)直線PQ的方程為時(shí)，求拋物線C₁的方程；

（Ⅱ）當(dāng)正數(shù)變化時(shí)，記S₁ ，S₂分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值。

 

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得，，求導(dǎo)， ……………2分

因?yàn)橹本�PQ的斜率為1，所以且，解得，

所以拋物線C₁ 的方程為。                   …………… 5分

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：，即，…… 6分

根據(jù)切線又與圓切，得，即，化簡得， 　……7分

由方程組，解得，                　……………9分

所以，

點(diǎn)到切線PQ的距離是，

所以，

，                                 　……………11分

而由知，，得，

所以

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號，即，此時(shí)，，所以的最小值為。……………15分[