如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中點，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
（1）證明詳見解析；（2） 

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理證，即，再證，直線與平面垂直的判定定理即可得證明；

（2）過O點作交CD的延長線于H，根據(jù)已知可證二面角A-CD-B的平面角，然后通過解三角形即可求得.
試題解析：（1）易得OC=3，AD=2,連結(jié)OD，OE，在∆OCD中，
由余弦定理可得OD= =.
∵AD=2,∴,∴,
同理可證：,又∵,平面BCD , 平面BCD ,∴AO⊥平面BCD；
（2）方法一：過O點作交CD的延長線于H，連結(jié)AH，因為AO⊥平面BCD,所以,故為二面角A-CD-B的平面角.
因為OC=3， =45，所以O(shè)H= ,從而tan=.

方法二：以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示.則A(0，0， ),C(0，-3，0),D(1，-2，0),
所以=(0，3，),=(-1，2，).
設(shè)為平面ACD的一個法向量，則 ,
即 解得 ，令x=1，得.
由（1）知，為平面CDB的一個法向量，所以cos< >==,
由A-CD-B為銳二面角，所以二面角A-CD-B的平面角的正切值為 .
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，G為PD的中點，E是AB的中點.

（Ⅰ）求證：AG∥平面PEC；  
（Ⅱ）求點G到平面PEC的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，、為圓柱的母線，是底面圓的直徑，、分別是、的中點，．

(1)證明：；
(2)證明：；
(3)求四棱錐與圓柱的體積比.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

一個棱柱是正四棱柱的條件是( 　　)
A．底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形
B．每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱
C．底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直
D．底面是正方形，有兩個相鄰側(cè)面垂直于底面

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

下列四個正方體圖形中，為 正方體的兩個頂點，分別為其所在棱的中點，能得出的圖形的序號是______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：① ② ③與相交與相交或重合 ④與平行與平行或重合，其中不正確的命題的個數(shù)是（     ）
A．4個B．3個C．2個D． 1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA，AC、CB、BP的中點．

(1)求證：D、E、F、G四點共面；
(2)求證：PC⊥AB；
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

正四棱錐的底面邊長為，高為，是邊的中點，動點在這個棱錐表面上運動，并且總保持，則動點的軌跡的周長為　　　　.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案