Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，G為PD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：AG∥平面PEC；  
（Ⅱ）求點(diǎn)G到平面PEC的距離．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只需在面內(nèi)找一條直線與之平行，如果找不到，可將這條直線平移到平面內(nèi)，取中點(diǎn)，連接,則是的中位線，則有,∥，又∥,,∴可證四邊形是平行四邊形，從而∥，可證∥面；
（Ⅱ）點(diǎn)到平面的距離指的是點(diǎn)到平面垂線段的長(zhǎng)度，如果垂足不好確定，可考慮四面體的等體積轉(zhuǎn)換，由（Ⅰ）知∥面，∴點(diǎn)和點(diǎn)到面的距離相等，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為
由，可求.

試題解析：（Ⅰ）證明：取PC的中點(diǎn)F,連接GF,則∥又∥,且
∴,∥,四邊形GAEF是平行四邊形 ∴∥------4分
又，   ∴∥面 .    6分
（Ⅱ）由∥面,知點(diǎn)和點(diǎn)到面的距離相等,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
∴ ，      9分
又， ,
∴      10分
又 ，∴，
即，
∴，∴ G點(diǎn)到平面PEC的距離為．         12分