Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x，若x=1是該函數(shù)的一個極值點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，a）（a＞1）上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（1）=0求得a的值，進(jìn)而分析導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)各個區(qū)間上的符號，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，4），可得若函數(shù)f（x）在[1，a）上是單調(diào)減函數(shù)，則[1，a）⊆[1，4]，進(jìn)而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x，
∴函數(shù)f′（x）=

a

x

+2x-10，
又∵x=1是該函數(shù)的一個極值點(diǎn)．
∴f′（1）=a-8=0，即a=8，
則f′（x）=

8

x

+2x-10=

2x2-10x+8

x

=

2(x-1)(x-4)

x

，
當(dāng)x∈（0，1]∪[4，+∞）時，f′（x）≥0，當(dāng)x∈[1，4]時，f′（x）≤0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，[4，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為[1，4]；
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，4），
若函數(shù)f（x）在[1，a）上是單調(diào)減函數(shù)，
則[1，a）⊆[1，4]，
故1＜a≤4，
故實數(shù)a的取值范圍為（1，4]．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)的簡單綜合應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．