如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點,,

為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.

 


(Ⅰ) 證明:平面；

(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.

【解析】(Ⅰ) 在圖1中,易得

連結(jié),在中,由余弦定理可得

由翻折不變性可知,

所以,所以,

理可證, 又,所以平面.

(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié),

因為平面,所以,

所以為二面角的平面角.

結(jié)合圖1可知,為中點,故,從而

所以,所以二面角的平面角的余弦值為.

向量法:以點為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,

則,,

所以,

設(shè)為平面的法向量,則

,即,解得,令,得

由(Ⅰ) 知,為平面的一個法向量,

所以,即二面角的平面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=
1
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x2-
4
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x-10與x軸的交點為A，與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC、現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設(shè)動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）
（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；
（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；
（3）當t∈（0，
9
4
）時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；
（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，一個等腰直角三角形的硬紙片△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，CD是斜邊上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能夠量長度的直尺，應(yīng)該如何確定A、B的位置，使得二面角A-CD-B是直二面角？證明你的結(jié)論．
（2）試在平面ABC上確定一點P，使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線垂直，證明你的結(jié)論．
（3）如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個小球，求出球的半徑的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州二模）如圖，一個等腰直角三角形的直角邊長為2，分別以三個頂點為 圓心，l為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域M （圖中白色部分）．若在此三角形內(nèi)隨機取一點P，則點P落在區(qū) 域M內(nèi)的概率為
1-
π
4
1-
π
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試（二）文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

如圖，一個等腰直角三角形的直角邊長為2，分別以三個頂點為圓心，1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域（圖中白色部分）．若在此三角形內(nèi)隨機取一點，則點落在區(qū)域內(nèi)的概率為      ．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y＝x 2－x－10與x軸的交點為A，與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連結(jié)AC．現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設(shè)動點P，Q移動的時間為t(單位：秒)

（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；

（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；

（3）當t∈（0，）時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；

（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

 


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