Question

（2011•寧德模擬）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)xoy中，曲線C的參數(shù)方程為

x=1+t2 y=2t2+1

（t為參數(shù)），若圓P在以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的方程為ρ²-4ρcos+3=0
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和圓P的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由參數(shù)方程直接求出曲線C的普通方程和利用極坐標(biāo)方程直接轉(zhuǎn)化為圓P的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值可轉(zhuǎn)化為求|PA|的最小值．
求|AB|的最小值．

解答：
解：（Ⅰ）曲線C

x=1+t2 y=2t2+1

，消去參數(shù)t后，解得它的直角坐標(biāo)方程為2x-y-1=0（x≥1），
因?yàn)棣?SUP>2=x²+y²，ρcosθ=x，所以ρ²-4ρcosθ+3=0的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）過(guò)圓心P作射線2x-y-1=0（x≥1）的垂線，垂足E在該射線的反向延長(zhǎng)線上，
當(dāng)點(diǎn)A在射線的端點(diǎn)時(shí)，|PA|=

(2-1)2+(0-1)2

=

2

，
此時(shí)|EA|的長(zhǎng)最小，故此時(shí)|PA|取最小值．
所以所求的最短距離為

2

-1．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想．