Question

已知y=lg（ax-1）-lg（x-1）在（10，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：應(yīng)先滿足函數(shù)的定義域，即當(dāng)x∈（10，+∞）時(shí)ax-1＞0恒成立，由此可得a≥

1

10

；然后將原函數(shù)化為y=lg

ax-1

x-1

=lg（a+

a-1

x-1

），結(jié)合已知應(yīng)有y=

a-1

x-1

在（10，+∞）上遞增，結(jié)合“反比例”函數(shù)的性質(zhì)可求得a＜1 ②最后根據(jù)①②可得a的取值范圍是[

1

10

，1）．

解答： 解：由函數(shù)的定義域，即當(dāng) x∈（10，+∞）時(shí)，ax-1＞0恒成立，
顯然a＞0，∴y=ax-1是增函數(shù)，∴只需10a-1≥0，即a≥

1

10

 ①
原函數(shù)可化為y=lg

ax-1

x-1

=lg（a+

a-1

x-1

），
由題意只需y=

a-1

x-1

在（10，+∞）上遞增，結(jié)合“反比例”函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，
只需a-1＜0，即a＜1 ②
結(jié)合①②可得a的取值范圍是[

1

10

，1）．
故答案為：[

1

10

，1）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性（包括反比例函數(shù)）的性質(zhì)，不等式恒成立的問(wèn)題；不等式恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決，屬于一種�？碱}型，應(yīng)引起重視．