20.如圖所示,菱形ABCD的邊長為4,∠BAD=$\frac{π}{3}$,AC∩BD=O.將菱形ABCD沿對角線AC折起,得到三棱錐B′-ACD,M為B′C的中點,DM=2$\sqrt{2}$.
(1)求證:OM∥平面AB′D;
(2)求三棱錐B′-DOM的體積.

分析 (1)利用三角形中位線定理,證出OM∥AB′,結(jié)合線面平行判定定理,即可證出OM∥平面AB′D;
(2)根據(jù)題中數(shù)據(jù),算出DO=$\frac{1}{2}$B′D=2,OM=$\frac{1}{2}$AB′=2,從而得到OD2+OM2=8=DM2,可得OD⊥OM.結(jié)合OD⊥AC利用線面垂直的判定定理,證出OD⊥平面AB′M,得到OD為三棱錐D-B′OM的高.算出△B′OM的面積,利用錐體體積公式算出三棱錐D-B′OM的體積,即可得到三棱錐B′-DOM的體積.

解答 解:(1)∵O為AC的中點,M為B′C的中點,∴OM∥AB′.
又∵OM?平面AB′D,AB′?平面AB′D,
∴OM∥平面AB′D.
(2)∵在菱形ABCD中,OD⊥AC,∴在三棱錐B′-ACD中,OD⊥AC.
在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得BD=4.
∵O為BD的中點,∴DO=$\frac{1}{2}$BD=2.
∵O為AC的中點,M為B′C的中點,∴OM=$\frac{1}{2}$AB′=2.
因此,OD2+OM2=8=DM2,可得OD⊥OM.
∵AC、OM是平面AB′C內(nèi)的相交直線,
∴OD⊥平面AB′M.即OD是三棱錐D-B′OM的高.
由OD=2,S△B′OM=$\frac{1}{2}$×OB′×B′M×sin60°=$\sqrt{3}$,
∴VB′-DOM=VD-B′OM=$\frac{1}{3}$S△B′OM×DO=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

點評 本題給出平面折疊問題,求證線面平行、面面垂直并求三棱錐的體積,著重考查了線面平行判定定理、線面垂直與面面垂直的判定和錐體的體積求法等知識,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.如圖,正方形ABCD中,E是AB的中點,CE與以BC為直徑的半圓O交于點F,C
(Ⅰ)證明:DF與圓O相切
(Ⅱ)證明:△DCF∽△OBF.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.已知函數(shù) f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=λf(x)+sin x在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若在x∈[-1,1]上g(x)≤t2+λt+1恒成立,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)討論關(guān)于x的方程$\frac{lnx}{f(x)}$=x2-2ex+m的根的個數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知奇函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x(x>0)\\ 0,(x=0)\\{x^2}+mx(x<0)\end{array}$
(1)在給出的直角坐標系中畫出y=f(x)的圖象,并求實數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2a-1,a+1]上單調(diào)遞增,試確定a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知直線l:y=x+m,圓O:x2+y2-4=0,圓C:x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4).
(1)若a=3,圓O與圓C交于M,N兩點,試求線段|MN|的長.
(2)直線 l與圓C相切,且直線l在圓C心的下方,當0<a≤4時,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.設(shè)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+1,(x>0)}\\{π,(x=0)}\\{0,(x<0)}\end{array}\right.$,則f(f(f(-1)))=( 。
A.0B.π+1C.πD.-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.棱長為2的正方體的所有頂點都在球O的球面上,則球O的體積為4$\sqrt{3}$π.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.過兩點A(2,1)和B(3,m)直線的斜率為1,則實數(shù)m的值為( 。
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.如圖所示,在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P,用A表示事件“點P恰好自由曲線$y=\sqrt{x}$與直線x=1及x軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”,B表示事件“點P恰好取自陰影部分內(nèi)”,則P(B|A)等于( 。
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{5}$C.$\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{7}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案