Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且經(jīng)過定點P（1，

3

2

），M（x₀，y₀）為橢圓C上的動點，以點M為圓心，MF₂為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若圓M與y軸有兩個不同交點，求點M橫坐標x₀的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M恒相切？若存在，求出定圓N的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題設知及橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出橢圓方程．
（2）先設M（x₀，y₀），得到圓M的半徑r=

(x0-1)2+y02

，再利用圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x₀|，結合圓M與y軸有兩個交點時，則有r＞d，即可構造關于x₀不等式，從而解得點M橫坐標的取值范圍．
（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16與圓M恒相切，利用橢圓的定義，即可得出結論．

解答： 解：（1）由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，
即2a=4，
∴a=2．
又c=1，
∴b²=a²-c²=3．
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1

（2）設M（x₀，y₀），則圓M的半徑r=

(x0-1)2+y02

，
圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x₀|，
若圓M與y軸有兩個交點則有r＞d即

(x0-1)2+y02

＞|x₀|，
化簡得y02-2x0+1＞0．
∵M為橢圓上的點
∴得3x02+8x0-16＜0，
解得-4＜x₀＜

4

3

．
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x₀＜

4

3

．
（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16與圓M恒相切，
其中定圓N的圓心為橢圓的左焦點F₁，半徑為橢圓C的長軸長4．
∵由橢圓定義知，|MF₁|+|MF₂|=4，即|MF₁|=4-|MF₂|，
∴圓N與圓M恒內切．

點評：本題考查橢圓方程和直線與圓錐曲線的關系，綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．