在△ABC中，已知C=
π
6
，向量
m
=（sinA，1），
n
=（1，cosB），且
m
⊥
n
．
（1）求A的值；
（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且3
BD
=
BC
，
AD
=
13
，求△ABC的面積．
考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，根據(jù)C的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理表示出B，代入得出的關(guān)系式中計(jì)算即可求出A的度數(shù)；
（2）設(shè)|
BD
|=x，由3
BD
=
BC
，得|
BC
|=3x，由A的度數(shù)與C度數(shù)相等，可得出|
BA
|=3x，B=
2π
3
，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與BC的長，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．
解答： 解：（1）∵
m
=（sinA，1），
n
=（1，cosB），且
m
⊥
n
，
∴sinA+cosB=0，
又C=
π
6
，A+B+C=π，
∴sinA+cos（
5π
6
-A）=0，即sinA-
3
2
cosA+
1
2
sinA=sin（A-
π
6
）=0，
又0＜A＜
5π
6
，∴A-
π
6
∈（-
π
6
，
2π
3
），
∴A-
π
6
=0，即A=
π
6
；
（2）設(shè)|
BD
|=x，由3
BD
=
BC
，得|
BC
|=3x，
由（1）知A=C=
π
6
，
∴|
BA
|=3x，B=
2π
3
，
在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，
解得：x=1，
∴AB=BC=3，
則S△ABC=
1
2
BA•BC•sinB=
1
2
×3×3×sin
2π
3
=
9
3
4
．
點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列統(tǒng)計(jì)圖中，未丟失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖是（　�。�
A、莖葉圖B、條形圖
C、折線圖D、扇形圖

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求最大公約數(shù)
（1）840與1785（用輾轉(zhuǎn)相除法）
（2）612與468（用更相減損術(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3x+2a-3（a是常數(shù)）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）所有的零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，求常數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）＜9x對于一切實(shí)數(shù)x都成立，求常數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

把函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位后得到偶函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅰ）求φ的值；  
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x-
π
12
）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[
1
2
，1]上的最小值；
（3）記函數(shù)y=f（x）圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x1，x2），B（x2，y2）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．試問：曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={（x，y）|x2+y2-4x-14y+45＜0}，B={（x，y）|y＞|x-m|+7}．
（1）若A∩B≠∅，求m的取值范圍；
（2）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，7），且Q∈A，集合A，B所表示的兩個(gè)平面區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M，N，求△QMN的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
m
x
+2（m為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[
1
2
，1]有解，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某人參加一檔綜藝節(jié)目，需依次闖關(guān)回答8道題，若回答正確，就獲得一定的“家庭夢想基金”且可選擇拿著“家庭夢想基金”離開或繼續(xù)答題（假設(shè)離開和繼續(xù)答題的可能性相等）；若回答錯(cuò)誤，則此前積累的基金清零，且他離開此節(jié)目．按規(guī)定，他有一次求助親友團(tuán)的機(jī)會，若回答正確，也被視為答案正確，否則視為錯(cuò)誤．8道題目隨機(jī)排列，且他能答出其中5題，且另3題中，有2題親友團(tuán)能答對，則他能獲得第5關(guān)對應(yīng)的“家庭夢想基金”的概率為
 
．

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同步練習(xí)冊答案