分析 (1)由已知可得△PDE≌△PCE,得PE⊥DC,又平面PAC⊥平面ABC,可得PE⊥平面ABC,則PE⊥AB,再由AB⊥BC,EF∥BC,結(jié)合線面垂直的判定可得AB⊥平面PEF;
(2)求解直角三角形可得三角形ABC的面積,再由比例關(guān)系求得四邊形BCEF的面積及三角形DEF的面積,可得四邊形DFBC的面積,代入棱錐體積公式求得
四棱錐P-DFBC的體積.
解答 (1)證明:在△PDE與△PCE中,
∵PD=PC,DE=EC,PE=PE,∴△PDE≌△PCE,
則PE⊥DC,∵平面PAC⊥平面ABC,
且平面PAC∩平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC,則PE⊥AB,
∵AB⊥BC,EF∥BC,∴AB⊥EF,又PE∩EF=E,
∴AB⊥平面PEF;
(2)解:∵AC=3,BC=\sqrt{3},且∠ABC=\frac{π}{2},
∴AB=\sqrt{{3}^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6},
∴{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}}{2},
∵AE:AC=2:3,∴S△AEF:S△ABC=4:9,
則{S}_{△AEF}=\frac{2\sqrt{2}}{3},∴{S}_{BCEF}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{6},
{S}_{△DEF}=\frac{1}{2}{S}_{△AFE}=\frac{\sqrt{2}}{6},
∴{S}_{DFBC}=\frac{5\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}.
∴{V}_{P-DFBC}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
點評 本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | \frac{\sqrt{6}}{6} | C. | \frac{\sqrt{6}}{2} | D. | \frac{\sqrt{6}}{3} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -\sqrt{6} | B. | -\frac{\sqrt{6}}{2} | C. | ±\sqrt{6} | D. | ±\frac{\sqrt{6}}{2} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 第3組 | B. | 第4組 | C. | 第5組 | D. | 第6組 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 2\sqrt{2} | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 15 | B. | 16 | C. | 17 | D. | 18 |
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